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アニメーション (第4回)

今回はブラケット記法あるいはDiracの記法と呼ばれるものを学ぶ。これは、ベクトルを $\vec{Ψ}$ と書く代わりに $| Ψ ⟩$ と書く記法である。

4-1. 基底

正規直交完全系 (= 長さが1で、自分以外との内積が0で、どんなベクトルでも展開できる基底たち) ${| e_{1} ⟩, | e_{2} ⟩}$ があるとしよう。ベクトル $| Ψ ⟩$ を、係数 $c_{1}, c_{2}$ を用いて $| Ψ ⟩ = c_{1} | e_{1} ⟩ + c_{2} | e_{2} ⟩,$ と展開できる。係数 $c_{1}, c_{2}$ は、 $| Ψ ⟩$ と $| e_{1} ⟩$ あるいは $| Ψ ⟩$ と $| e_{2} ⟩$ の内積を取ってやれば、 $c_{1} = ⟨ e_{1} | Ψ ⟩, c_{2} = ⟨ e_{2} | Ψ ⟩,$ と求めることができる。この様子を示したのが下図である。この基底を取った人にとっては、ベクトル $| Ψ ⟩$ は $| Ψ ⟩ \overset{表示}{=} (\begin{matrix} 0.48 \\ 0.64 \end{matrix}),$ と見えている。少し別の言い方をすれば、 $| Ψ ⟩$ の中に $| e_{1} ⟩$ が $⟨ e_{1} | Ψ ⟩ = 0.48$ だけ、 $| e_{2} ⟩$ が $⟨ e_{2} | Ψ ⟩ = 0.64$ だけ存在する、ということである。

しかし、物の見方というのはいくつもある。別の正規直交完全系 ${| e_{1}^{'} ⟩, | e_{2}^{'} ⟩}$ を使いたい人もいるだろう。その人にとって $| Ψ ⟩$ は $| Ψ ⟩ = c_{1}^{'} | e_{1}^{'} ⟩ + c_{2}^{'} | e_{2}^{'} ⟩,$ であり、係数 $c_{1}^{'}, c_{2}^{'}$ は先程と同じように $c_{1}^{'} = ⟨ e_{1}^{'} | Ψ ⟩, c_{2}^{'} = ⟨ e_{2}^{'} | Ψ ⟩,$ で与えられる。この様子を示したのが下図である。この基底を取った人にとっては、ベクトル $| Ψ ⟩$ は $| Ψ ⟩ \overset{表示}{=} (\begin{matrix} 0.69 \\ 0.40 \end{matrix}),$ と見えている。ベクトル $| Ψ ⟩$ 自身は全く変わっていないことに注意してほしい。先程と同じ言い方をすれば、 $| Ψ ⟩$ の中に $| e_{1}^{'} ⟩$ が $⟨ e_{1}^{'} | Ψ ⟩ = 0.69$ だけ、 $| e_{2}^{'} ⟩$ が $⟨ e_{2}^{'} | Ψ ⟩ = 0.40$ だけ存在する、ということである。

4-2. 波動関数とは

さて、我々は前回まで波動関数 $Ψ (t, x)$ をひたすら計算してきたわけだが、あれは一体何だったのだろうか。いきなり答えを言おう。まず、「系の状態」というのは何らかの抽象的なベクトルで表されるとする。それを $| Ψ ⟩$ としよう。位置 $x$ が引数に入っていないことからわかる通り、これは $x$ とは関係ない概念である。空間が1次元や3次元だからといって $| Ψ ⟩$ が1次元だったり3次元だったりするわけではない。 $| Ψ ⟩$ はあくまで抽象的なベクトルである。

次に、この $| Ψ ⟩$ を表示するための基底を用意する。そのために無限個のベクトル ${| x ⟩}$ を用意しよう。無限個だからといって心配する必要はない。空間を細かく区切って ${\dots, x_{- 1}, x_{0}, x_{1}, x_{2}, \dots}$ とし、それぞれの位置に対応するベクトル ${\dots, | x_{- 1} ⟩, | x_{0} ⟩, | x_{1} ⟩, | x_{2} ⟩, \dots}$ を用意したと思えば良い。これらはお互いに直交しているとする。

そして、波動関数 $Ψ (t, x)$ というのは、 $| Ψ ⟩$ を基底 ${| x ⟩}$ で表示したときの係数 $⟨ x | Ψ ⟩$ である。先程までと同じ言い方をすれば、波動関数 $Ψ (t, x) = ⟨ x | Ψ ⟩$ とは $| Ψ ⟩$ の中に $| x ⟩$ がどれだけ存在するかである。以下のアニメーションを見てほしい。直交するベクトルが無限個あるので表示しきれないが、それぞれの $| x_{i} ⟩, | x_{j} ⟩ (i \neq j)$ は直交している。そして、 $| Ψ ⟩$ の中にどれくらい $| x ⟩$ があるかを $⟨ x | Ψ ⟩$ で見積もることができる。これが波動関数 $Ψ (t, x)$ である。

時間依存性はどこに行ったのか？と思うかもしれない。実は、 $| Ψ ⟩$ は抽象的なベクトル空間の中で $| Ψ (t) ⟩$ と時間発展をしている。この時間発展を記述するのがSchrödinger方程式である。これについては次回学ぶことにしよう。

ところで、基底の取り方には任意性があった。別に ${| x ⟩}$ を選ぶ必要はないのである。例えば、運動量 ${| p ⟩}$ を基底に選んでも良い。そうすると、運動量表示の波動関数 $Ψ (t, p) = ⟨ p | Ψ ⟩$ を得ることができる。これは一番初めの例で基底を ${| e_{1} ⟩, | e_{2} ⟩}$ と選んでも ${| e_{1}^{'} ⟩, | e_{2}^{'} ⟩}$ と選んでも良いことに対応している。

(おまけ) Fourier変換のこころ

Fourier変換よりも少し簡単な例で考えてみよう。例えば次の図のような関数があったとする。

この関数形を他の人に伝えるにはどうしたらいいだろうか。一番素直には、それぞれの $x$ でこの関数がどういう値を持つか、逐一伝えればよい。今の場合、 $x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ で $f (x) = 0, - 2, 4, 2, - 2, - 4, 2, 0$ である。

実は別の方法がある。異なる波数 $k$ の波が何個あるかで伝える方法である。

どちらの伝え方でも相手には同じ情報が伝わる。 Fourier変換の考え方も基本的に同じである。 $f (x)$ を各 $x$ の値に対する $f (x)$ の値の集まりとして表してもいいし、波数 $k$ の波 $e^{i k x}$ が各 $k$ についてどれくらいあるかで表してもいい。 $f (x)$ に $e^{i k x}$ がどれくらいあるかを表す量である $\tilde{f} (k)$ は、その複素共役 $e^{- i k x}$ で $f (x)$ に「問い合わせ」るとわかる $\tilde{f} (k) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} d x f (x) e^{- i k x} .$ 元の $f (x)$ は、波 $e^{i k x}$ にその存在量 $\tilde{f} (k)$ を掛けて、 $k$ について足し合わせれば再現できる $f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} d k \tilde{f} (k) e^{i k x} .$

(おまけ) Fourier変換の例

上の説明だけだと抽象的なので、具体例を見てみよう。関数 $f (x)$ を $f (x) = {\begin{matrix} x & (- 1 < x < 1) \\ 0 & (o t h e r w i s e) \end{matrix},$ としよう。これは下図の黒線で、不連続点があるのがわかる。こんな非自明な関数をFourier変換は再現できるのだろうか。実はこの例では $\tilde{f} (k)$ を解析的に求めることができる $\tilde{f} (k) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} d x f (x) e^{- i k x} = \dots = i \sqrt{\frac{2}{π}} \frac{k \cos k - \sin k}{k^{2}} .$ これが「 $f (x)$ の中に $e^{i k x}$ がどれくらいあるか」である。元の関数を再現する様子を見るために、積分範囲を $k \in [- k_{m a x}, k_{m a x}]$ として、 $\tilde{\tilde{f}} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- k_{m a x}}^{k_{m a x}} d k \tilde{f} (k) e^{i k x},$ が $k_{m a x} \to \infty$ でもとの関数になるかどうか調べてみよう。下図は $k_{m a x}$ を大きくしたときの $\tilde{\tilde{f}} (x)$ の振る舞いである。 $k_{m a x}$ が大きくなるにつれて元の関数 $f (x)$ が再現されていく様子がわかる。